러더퍼드 산란

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1. 개요
2. 발견
3. 유도
- 3.1. 미분 단면적
4. 궤도의 해석해
5. 최대 원자핵 크기 계산
6. 상대론적 입자와 타겟 반동으로의 확장
7. 현대적 응용
8. 같이 보기
9. 참고 문헌
참조

1. 개요

러더퍼드 산란은 1909년 한스 가이거와 어니스트 마스덴이 알파 입자 산란 실험을 통해 처음 발견했다. 이 실험은 어니스트 러더퍼드의 지도하에 진행되었으며, 얇은 금속 박막에 알파 입자를 발사하여 입자의 산란 현상을 관찰했다. 실험 결과, 알파 입자의 대부분은 거의 편향되지 않고 통과했지만, 극히 일부는 매우 큰 각도로 산란되는 현상을 확인했다. 이를 통해 러더퍼드는 원자 질량의 대부분이 양전하를 띤 작은 영역(핵)에 집중되어 있다는 결론을 내렸다. 현재 러더퍼드 산란은 재료 과학 분야에서 러더퍼드 후방 산란이라는 분석 기법으로 활용되고 있으며, 중심력에 의해 상호작용하는 입자의 운동 방정식을 통해 산란 단면적을 유도할 수 있다.

2. 발견

러더퍼드 산란은 1909년 한스 가이거와 어니스트 마스덴이 알파입자 산란실험을 통해 처음 발견되었다.^[2]^[3]^[4]^[5] 이 실험은 1908년부터 1910년까지와 1913년의 4차례에 걸쳐 러더퍼드의 지도하에 진행되었다.^[2]^[3]^[4]^[5] 실험에서 그들은 얇은 금속 박막에 알파 입자(헬륨 핵)를 발사했다. 실험 당시 원자는 조지프 존 톰슨이 제안한 건포도 빵 모형처럼 양전하를 띤 공간에 전자가 박혀 있는 구조로 생각되었다. 건포도 빵 모형에 따르면 알파 입자는 큰 각도로 산란되지 않아야 했다.

안개 상자에서 5.3 점 1 근처의 납-210 핀 소스로부터의 MeV 알파 입자 트랙은 점 2 근처에서 러더 포드 산란을 겪고, 약 30 °의 각도로 편향된다. 그것은 포인트 3 근처에서 다시 한 번 뿌려지고 마침내 가스에 안정된다. 챔버 가스의 목표 핵은 질소, 산소, 탄소 또는 수소 핵이었을 수 있다. 포인트 2 근처에서 짧은 가시적 인 반동 트랙을 발생시키기 위해 탄성 충돌에서 충분한 운동 에너지를 받았다. (눈금은 센티미터 단위)

그러나 실험 결과는 약 8000개의 알파 입자 중 하나가 90° 이상의 매우 큰 각도로 산란되는 반면, 나머지는 거의 편향되지 않고 통과했다는 것을 보여주었다. 이를 통해 러더퍼드는 원자 질량의 대부분이 전자로 둘러싸인 양전하를 띤 작은 영역(핵)에 집중되어 있다고 결론지었다. 양전하를 띤 알파 입자가 핵에 충분히 근접할 때, 높은 각도에서 반동할 만큼 충분히 강하게 튕겨 나갔다. 작은 크기의 핵은 이런 식으로 반발된 소수의 알파 입자를 설명했다. 안개 상자를 이용한 실험에서 알파 입자가 핵에 의해 편향되는 현상이 시각적으로 관찰되었다.

러더퍼드 산란은 현재 재료 과학 분야에서 러더퍼드 후방 산란이라는 분석 기법으로 활용되고 있다.

3. 유도

중심력에 의해 상호작용하는 입자의 운동 방정식으로부터 산란 단면적을 유도할 수 있다. 일반적으로 중심력에 의해 상호작용하는 두 입자는 질량 중심의 운동과 입자 간의 상대 운동으로 분해할 수 있다. 가이거-마스덴 실험의 경우와 같이, 무거운 핵에 의해 산란되는 가벼운 알파 입자의 경우, 환산 질량은 기본적으로 알파 입자의 질량이 되고, 핵은 기본적으로 실험실 계에서 정지하게 된다.

비네 방정식에 대입하면, 다음 궤적 방정식이 얻어진다.

: $\frac{\mathrm d^{2}u}{\mathrm d\theta^{2}}+u=-\frac{Z_{1}Z_{2}e^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}mv_{0}^{2}b^{2}}=-\kappa$

여기서, $u = \frac{1}{r}$ 이고, $v_0$ 는 무한대에서의 속도, $b$ 는 충돌 매개변수이다.

위의 미분 방정식의 일반 해는 다음과 같이 얻어진다.

: $u=u_{0}\cos(\theta-\theta_{0})-\kappa$

이것을 $r$ 을 사용하여 통상적인 극방정식으로 다시 쓰면,

: $\begin{align}r&=\frac{1}{u_0\cos(\theta-\theta_0)-\kappa}\\&=\frac{-\kappa^{-1}}{1-u_0\kappa^{-1}\cos(\theta-\theta_0)}\end{align}$

가 되며, 이것은 이심률 $e = u_0\kappa^{-1}$ 의 원뿔 곡선을 나타내는 극방정식이다. 산란 문제에서는 입자는 두 개의 점근선을 가지므로, 산란 입자의 궤도는 쌍곡선이 된다.

입사 시의 점근선으로부터 초기 조건은 다음과 같이 주어진다.

: $u\to 0,~r\sin\theta\to b~(\theta\to\pi)$

여기서, $u\to 0$ 에서 $u_0 \cos(\theta-\theta_0) = \kappa$ 이고, $\frac{\mathrm d u}{\mathrm d\theta} = -\frac{\dot{r}}{r^2 \dot{\theta}} \to -\frac{1}{b}$ 에서 $u_0 \sin(\theta-\theta_0) = \frac{1}{b}$

이므로 $\theta_{0}$ 는

: $\theta_{0}=\frac{\pi}{2}+\arctan b\kappa$

라는 형태로 구해진다.

산란각 $\Theta$ 는 산란 후의 점근선에 대해 $u \to 0$ 을 다음과 같이 풀면 얻어진다.

: $\begin{align}\Theta&=2\theta_{0}-\pi=2\arctan b\kappa\\&=2\arctan\frac{Z_{1}Z_{2}e^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}mv_{0}^{2}b}\end{align}$

$b$ 는 다음과 같이 풀린다.

: $b=\frac{Z_{1}Z_{2}e^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}mv_{0}^{2}}\cot\frac{\Theta}{2}$

이 결과로부터 산란 단면적을 얻기 위해서는 다음 정의를 고려한다.

: $\frac{\mathrm d\sigma}{\mathrm d\Omega}(\Omega) \mathrm d \Omega=\frac{n}{I}$

여기서, $n$ 은 입체각 $d\Omega$ 내에 산란되는 입자의 수, $I$ 는 입사 강도로 한다.

$E$ 와 $b$ 에 대해 산란각이 유일하게 결정되므로, 산란각 $\Theta$ 에서 $\Theta + d\Theta$ 로 산란되는 입자 수는 해당하는 충돌 매개변수 $b$ 에서 $b + db$ 를 만족하는 입자의 수와 같다. 이것은 다음 등식을 함의한다.

: $2\pi I b \left|\mathrm db\right| = I \frac{\mathrm d\sigma}{\mathrm d\Omega} \mathrm d\Omega$

쿨롱 퍼텐셜과 같이 구대칭인 산란 퍼텐셜의 경우, $d\Omega = 2\pi\sin \Theta d\Theta$ 가 얻어지고, 산란 단면적은 다음과 같이 얻어진다.

: $\frac{\mathrm d\sigma}{\mathrm d\Omega}=\frac{b}{\sin{\Theta}}\left|\frac{\mathrm db}{\mathrm d\Theta}\right|$

마지막으로, 이 식에 충돌 매개변수의 함수형 $b(\Theta)$ 를 대입하면 러더퍼드 산란 단면적이 다음과 같이 얻어진다.

: $\frac{\mathrm d\sigma}{\mathrm d\Omega}=\left(\frac{Z_1Z_2e^2}{8\pi\varepsilon_0 mv_0^2}\right)^2\csc^4{\left(\frac{\Theta}{2}\right)}$

3. 1. 미분 단면적

4. 궤도의 해석해

궤도의 일반해는 다음과 같다.

:

u(\theta)=\frac{1}{r(\theta)}=u_{0}\cos(\theta-\theta_{0})-\kappa

경계 조건에서 다음 상수를 구할 수 있다.

:

\theta_{0}=\frac{\pi}{2}+\frac{\Theta}{2}

:

u_{0}=\frac{1}{b \sin (\theta-\theta_{0})}

이들을 대입하여 변형하면 궤도의 일반해는 다음과 같다.

:

r(\theta) = \frac{b \cos \frac{\Theta}{2}}{\sin (\theta - \frac{\Theta}{2}) - \sin \frac{\Theta}{2}}

여기서

\frac{\Theta}{2} = \arctan(bk)

이다.

또한, 음함수 표시는 다음과 같다.

:

x^2+y^2 = (x - y/(b k) + 1/k)^2

5. 최대 원자핵 크기 계산

알파 입자와 원자핵이 정면 충돌하는 경우, 알파 입자가 가진 운동 에너지의 전부가 포텐셜 에너지로 변화하여 입자가 정지하는 순간이 있다. 이 순간에 알파 입자의 중심에서 원자핵의 중심까지의 거리는 원자핵의 최대 반경을 나타낸다.

역제곱 법칙을 적용하면, 다음과 같이 쓸 수 있다.

: $\frac{1}{2}mv^2=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\cdot\frac{q_1 q_2}{b}$

알파 입자의 질량은 6.64424 x 10^-27 kg, 전하는 2 x 1.6 x 10^-19 C, 금의 전하는 79 x 1.6 x 10^-19 C, 초속도는 2 x 10⁷ m/s이다. 이들을 대입하면, 금 원자핵의 최대 크기는 약 27fm 이라는 값을 얻지만, 실제 금 원자핵의 반지름은 약 7.3fm이다. 이는 알파선의 에너지가 원자핵 중심에 더 가까이 접근시킬 만큼 충분하지 않기 때문이다. 러더퍼드는 이를 인식하고, 산란 곡선이 큰 각도에서 쌍곡선에서 다른 곡선으로 변화할 수 있다는 것을 알고 있었다. 이러한 벗어남이 관찰되지 않았기 때문에, 금 원자핵과 알파 입자는 "접촉"하지 않았음이 나타났고, 금 원자핵 반경이 27fm보다 작다는 것을 알게 되었다.

6. 상대론적 입자와 타겟 반동으로의 확장

저에너지 러더퍼드 산란을 상대론적 에너지 영역으로 확장하거나, 스핀을 가진 입자에 대한 산란은 모트 산란으로 기술된다.^[9]^[10] 빔 또는 타겟 입자의 내부 에너지 변화가 없는 경우를 탄성 산란, 그렇지 않은 경우를 비탄성 산란이라고 한다.

7. 현대적 응용

8. 같이 보기

9. 참고 문헌

Goldstein, Herbert; Poole, Charles; Safko, John (2001년 6월 25일). 《고전역학》 3판. 샌프란시스코: 애디슨-웨슬리. ISBN 0-201-65702-3.
한스 가이거/Geiger, Hans^영어 (1908년 8월 27일). “물질에 의한 알파 입자의 산란에 관하여” (PDF). 런던: 왕립 학회. *Proc. Roy. Soc. A* 81 (546): 174–177.
한스 가이거/Geiger, Hans^영어; 어니스트 마즈든/Marsden, Ernest^영어 (1909년 7월 31일). “알파 입자의 확산 반사에 관하여” (PDF). 런던: 왕립 학회. *Proc. Roy. Soc. A* 82 (557): 495–500.
한스 가이거/Geiger, Hans^영어 (1910년 4월 14일). “물질에 의한 알파 입자의 산란” (PDF). 런던: 왕립 학회. *Proc. Roy. Soc. A* 83 (565): 492–504.
한스 가이거/Geiger, Hans^영어; 어니스트 마즈든/Marsden, Ernest^영어 (1913년). “큰 각도에서의 알파 입자 편향의 법칙” (PDF). 애빙던: 테일러 & 프랜시스. *Phil. Mag.*, Series 6, 25 (148): 604–623.
어니스트 러더퍼드/Rutherford, Ernest^영어 (1911년 4월). “물질에 의한 α 입자와 β 입자의 산란과 원자의 구조”. 애빙던: 테일러 & 프랜시스. *Phil. Mag.*, Series 6, 21 (125): 669–688.
並木雅俊 (1998년 9월 5일). “「러더퍼드 실험」이라는 호칭은 올바른가”. 일본 물리학회. *일본 물리학회 강연 개요집* 53 (2-4): 990.

참조

_[1] 문헌
_[2] 문헌
_[3] 문헌
_[4] 문헌
_[5] 문헌
_[6] 문헌
_[7] 문서
_[8] Kotobank 核半径
_[9] 문서
_[10] 웹사이트 Electron Scattering from Nuclei http://hyperphysics.[...] Hyperphysics 2016-11-10
_[11] 저널 The Scattering of α and β rays by Matter and the Structure of the Atom 1911

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